Главная Форум Фото Справочник Объявления Магазин Мамам Папам Школьникам Бигбары Калькуляторы Кабинет


Категории
Памятки по русскому языку [53]
Памятки по математике [38]
Разные правила и памятки [14]

Реклама

В этом разделе
Контрольные работы:
1 класс
2 класс
3 класс
4 класс
5 класс
6 класс
7 класс
8 класс
По четвертям
Итоговые, годовые

Рекомендуем

Смотрите


Памятки ученикам » Памятки по математике »

Сколько диагоналей у треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника, восьмиугольника?

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

 

У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

 

 

Подсчет диагоналей

 

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

 

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

 

N = n·(n – 3)/2,

 

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

  • у треугольника — 0 диагоналей 
  • у прямоугольника — 2 диагонали
  • у пятиугольника — 5 диагоналей
  • у шестиугольника — 9 диагоналей
  • у восьмиугольника — 20 диагоналей
  • у 12-угольника — 54 диагонали
  • у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k. Тогда можно пользоваться формулой:

 

N = n·(n – k – 1)/2,

 

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что

  • у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей 
  • у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные) 
  • у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
  • у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные) 
  • у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.

 

 

Фигуры с равными диагоналями

 

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Этоквадрат и правильный пятиугольник. У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

 

Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

 

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

 



Источник: http://www.genon.ru




Категория: Памятки по математике | Добавил: Яромашка (25 Дек 2013) |
Просмотров: 3682








Мамы и папы Архангельска © 2009 - 2016
Верещагина Ольга Тел.: +7 911 563 5001
E-mail: mamapapa-arh@yandex.ru

Яндекс цитирования Яндекс.Метрика